Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+m+2+3\sqrt{x^2-4x}}{\sqrt{x^2-4x+2}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$?

Chọn A
Đặt $t=\sqrt{x^2-4x}$. Khi $x\in (-4;-1)$, ta có $t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$.
Ta có ${\left(\sqrt{x^2-4x}\right)}^{\prime }=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}<0,\forall x\in (-4;-1)$.
Do đó hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-4x+m+2+3\sqrt{x^2-4x}}{\sqrt{x^2-4x}+2}$ nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$
$\iff$ Hàm số $y=g(t)=\frac{t^2+3t+m+2}{t+2}$ đồng biến trên khoảng $\left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$
$\iff g^{\prime }(t)=\frac{t^2+4t+4-m}{(t+2{)}^2}\ge 0,\forall t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$
$\iff t^2+4t+4-m\ge 0,\forall t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)\iff m\le t^2+4t+4,\forall t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$
$\iff m\le 9+4\sqrt{5}\approx 17,9$.
Vậy có 17 giá trị nguyên dương của $m$.