Cho hàm số $y=x^3+2m{x}^2+(m+3)x$ $(C)$. Giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d):y=x+4$ cắt $(C_m)$ tại ba điểm phân biệt $A(0;4)$, $B$, $C$ sao cho tam giác $KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt{2}$ với điểm $K(1;3)$ là:

Phương pháp:
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm mối quan hệ giữa $x_1$, $x_2$ là hoành độ của $B,C$.
+ Viết công thức tính diện tích tam giác $KBC$ và tìm $m$.
Cách giải:
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:
$$x^3+2m{x}^2+(m+3)x+4=x+4$$
$$\iff x^3+2m{x}^2+(m+2)x=0$$
$$\iff x\left(x^2+2mx+m+2\right)=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x^2+2mx+m+2=0(1)\end{array}$$
Để $(d)$ cắt $(C_m)$ tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0:
$$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ m+2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-2>0\\ m\ne -2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>2\text{ hoặc }m<-1\\ m\ne -2\end{array}.$$
Gọi $x_1;x_2$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $(1)$ $\Rightarrow B(x_1;x_1+4)$; $C(x_2;x_2+4)$.
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $x_1+x_2=-2m$; $x_1{x}_2=m+2$.
Ta có: $S_{KBC}=\frac{1}{2}\cdot d(K,BC)\cdot BC$.
Phương trình đường thẳng $(d):y=x+4\iff x-y+4=0$.
Vì $B,C$ thuộc đường thẳng $(d)$ nên ta có: $d(K,BC)=d(K;d)=\frac{|1-3+4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
$BC=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(x_2+4-x_1-4{)}^2}=\sqrt{2(x_2-x_1{)}^2}=\sqrt{2\left((x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2\right)}=\sqrt{2\left(4m^2-4(m+2)\right)}$
$BC=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{m^2-m-2}$
Theo bài ra ta có:
$S_{KBC}=8\sqrt{2}$
$\iff \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{m^2-m-2}=8\sqrt{2}$
$\iff 2\sqrt{m^2-m-2}=8\sqrt{2}$
$\iff m^2-m-2=32$
$\iff m^2-m-34=0$
$\iff m=\frac{1\pm \sqrt{137}}{2}$ $(tm)$
Vậy $m=\frac{1\pm \sqrt{137}}{2}$.
Chọn C.