Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác cân tại $A$ có $AB=AC=2a$, $\angle CAB=120^0$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tạo với đáy một góc $60^0$. Thể tích khối lăng trụ là:

Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao $h=A{A}^{\prime }$.
- Tính diện tích đáy $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$, sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$.
- Tính thể tích khối lăng trụ $V=Sh$.
Cách giải:
Gọi D là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Vì tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cân tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }D\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có: $\begin{array}{c}{A}^{\prime }D\perp B^{\prime }{C}^{\prime }\\ A{A}^{\prime }\perp (B^{\prime }{C}^{\prime })\end{array}\}\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }D)\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\perp AD$
$\{\begin{array}{c}(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=B^{\prime }{C}^{\prime }\\ (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })\supset AD\perp B^{\prime }{C}^{\prime }\\ (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\supset A^{\prime }D\perp B^{\prime }{C}^{\prime }\end{array}$
[Hình cần kiểm tra lại: p53_f1]
$\Rightarrow \angle \left(\left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right);\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\right)=\angle \left(AD;A^{\prime }D\right)=\angle AD{A}^{\prime }=60^0$.
Vì tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cân tại $A^{\prime }$ nên $\angle D{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{1}{2}\angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=60^0$ (trung tuyến đồng thời là phân giác).
Xét tam giác vuông $A^{\prime }{C}^{\prime }D$ có: $A^{\prime }D=A^{\prime }{C}^{\prime }.\cos 60^0=2a.\frac{1}{2}=a$.
Xét tam giác vuông AA'D có: AA' = A'D.tan 60° = a.√3.
Diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC=\frac{1}{2}.2a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2\sqrt{3}$.
Vậy $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A{A}^{\prime }.S_{ABC}=a\sqrt{3}.a^2\sqrt{3}=3a^3$.
Chọn D.