Cho hàm số $y=(x^3-3x+m{)}^2$. Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ bằng 1 là

Xét $g(x)=x^3-3x+m$ trên $[-1;1]$. Có $g^{\prime }(x)=3x^2-3\le 0,\forall x\in [-1;1]$, nên $g(x)$ nghịch biến trên $[-1;1]$.
Ta có: $g(-1)=m+2$ và $g(1)=m-2$.
Hàm số $y=[g(x){]}^2\ge 0$. Để giá trị nhỏ nhất của $y$ trên $[-1;1]$ bằng 1 thì phương trình $g(x)=0$ không có nghiệm trên $[-1;1]$, đồng thời:
- Trường hợp 1: $g(x)\ge 1,\forall x\in [-1;1]\iff g(1)=m-2=1\iff m=3$. Khi đó ${\min }_{[-1;1]}y=1^2=1$.
- Trường hợp 2: $g(x)\le -1,\forall x\in [-1;1]\iff g(-1)=m+2=-1\iff m=-3$. Khi đó ${\min }_{[-1;1]}y=(-1{)}^2=1$.
Tổng tất cả các giá trị của $m$ là $3+(-3)=0$.