Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x-31$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2-12x+9$.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x-31$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=9$.
Xét phương trình hoành độ tiếp điểm: $y^{\prime }=9\iff 3x^2-12x+9=9\iff 3x^2-12x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$.
Tại $x=0\Rightarrow y(0)=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=9(x-0)+1\Rightarrow y=9x+1$ (thỏa mãn điều kiện không trùng).
Tại $x=4\Rightarrow y(4)=4^3-6(4^2)+9(4)+1=5$.
Phương trình tiếp tuyến: $y=9(x-4)+5\Rightarrow y=9x-31$ (loại vì trùng với đường thẳng đề cho).
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=9x+1$.