Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có dạng $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4=(x+2{)}^2(x-1)$: đồ thị có điểm uốn/điểm thấp nhất $(0;-4)$, tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cực đại của $f^{\prime }$ bằng 0), cắt trục tại $x=1$, và $f^{\prime }(-1)=-2$ (khớp các đường gián đoạn $y=-2$, $y=-4$ trên hình).
a) Với $x<-2$: $(x+2{)}^2>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$. Mệnh đề SAI.
b) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $(-\infty ;1)$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$; $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần tại $x=1$ (tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu). Vậy $f$ chỉ có một điểm cực trị. Mệnh đề SAI.
c) $f^{\prime }(2)=2^3+3\cdot 2^2-4=8+12-4=16\ne 4$. Mệnh đề SAI.
d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x+1)(x-1)$. Trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x+3>0$, $x+1<0$, $x-1<0$ nên $g^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-2$, $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ chỉ đổi dấu tại $x=1$ (âm rồi dương), nên $f$ chỉ có một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(2)=8+12-4=16\ne 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+3)(x+1)(x-1)>0$ trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$ nên $g$ đồng biến trên khoảng này.