Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+4}$ có đồ thị $(C)$. Khi đó :

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+4}$. Chia đa thức: $x^2-2x+1=(x+4)(x-6)+25$, nên $f(x)=x-6+\frac{25}{x+4}$.

a) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x-6)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên đường thẳng $y=x-6$ là tiệm cận xiên của $(C)$. → Đúng.

b) Hàm số xác định khi $x+4\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. → Sai.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-6+\frac{25}{x+4}}{x}=1\ne -1$. → Sai.

d) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+4)-(x^2-2x+1)}{(x+4{)}^2}=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$.
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-9$ hoặc $x=1$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-9$ hoặc $x>1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-9<x<-4$ hoặc $-4<x<1$.
Giá trị: $f(-9)=\frac{(-9{)}^2-2(-9)+1}{-5}=\frac{100}{-5}=-20$ (cực đại); $f(1)=0$ (cực tiểu); $\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$ theo tiệm cận $y=x-6$.
Bảng biến thiên: tăng từ $-\infty$ đến $-20$ tại $x=-9$, giảm đến $-\infty$ khi $x\to -4^{-}$; từ $+\infty$ giảm đến $0$ tại $x=1$, rồi tăng đến $+\infty$. Khớp với bảng . → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — trùng với đáp án mã đề 2101 (DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-6+\frac{25}{x+4}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên $y=x-6$ là tiệm cận xiên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x\ne -4$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-6+\frac{25}{x+4}}{x}=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$; cực đại $f(-9)=-20$, cực tiểu $f(1)=0$, tiệm cận đứng $x=-4$ với $y\to -\infty$ bên trái và $y\to +\infty$ bên phải — khớp bảng biến thiên đã cho.