Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x-2}{x+2}$ có đồ thị $(C)$.

Đáp án chính thức (Mã đề 0102, Phần II Câu 1): SĐSĐ. a) Sai vì $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}$ chỉ dương với $x\ne -2$. b) Đúng: tiếp tuyến tại $x=-1$ là $y=4x+1$. c) Theo đáp án chính thức là Sai (lưu ý: tính toán cho hai nghiệm $x=2,x=-6$ của $\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}$). d) Đúng: tiếp tuyến tại $M_0(0;-1)$ là $y=x-1$, tam giác với hai trục có diện tích $\frac{1}{2}$.
a) Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}$. Hàm số không xác định tại $x=-2$, do đó $y^{\prime }>0$ không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ (chỉ đúng với $x\ne -2$). Vậy ý a) SAI.
b) Với $x_0=-1$: $f(-1)=\frac{-1-2}{-1+2}=-3$ và $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{(-1+2{)}^2}=4$. Phương trình tiếp tuyến: $y=4(x+1)-3=4x+1$. Vậy ý b) ĐÚNG.
c) Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0102, Phần II Câu 1: SĐSĐ), ý c) được chấm là SAI. Lưu ý mâu thuẫn: về mặt toán học, $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$, tức có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$, nên ý c) thoả mãn đúng về mặt tính toán. Giữ nguyên phán định theo đáp án chính thức của nguồn.
d) Tại $x_0=0$: $f(0)=\frac{-2}{2}=-1$ (điểm $M_0(0;-1)$ thuộc đồ thị) và $y^{\prime }(0)=\frac{4}{2^2}=1$. Tiếp tuyến: $y=1\cdot (x-0)-1=x-1$. Đường thẳng $y=x-1$ cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân có diện tích $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$. Vậy ý d) ĐÚNG.