Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$ với $x\ne -1$.

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{-(x+1{)}^2+4}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$. Đúng.

b) Vì $f(x)=-x+2-\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+2$ (tiệm cận đứng $x=-1$). Đúng.

c) $f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. $f(1)=-1$, $f(-3)=7$. Khoảng cách $=\sqrt{(1+3{)}^2+(-1-7{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Đúng.

d) Tiếp tuyến tại $M(a;f(a))$ có hệ số góc $m=-1+\frac{4}{(a+1{)}^2}$, phương trình $y=mx+c$ với $c=f(a)-ma=2-\frac{4}{a+1}-\frac{4a}{(a+1{)}^2}$.
Giao với tiệm cận đứng $x=-1$: $y_1=-m+c=3-\frac{8}{a+1}$.
Giao với tiệm cận xiên $y=-x+2$: $x_2=\frac{2-c}{m+1}=2a+1$.
Đỉnh giao hai tiệm cận: $(-1;3)$. Diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\left|y_1-3\right|\cdot \left|x_2+1\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{|a+1|}\cdot 2|a+1|=8$ với mọi $a\ne -1$.
Vậy mọi tiếp tuyến của $(C)$ đều tạo với hai tiệm cận tam giác diện tích 8, nên chỉ cần đếm điểm nguyên trên $(C)$: $f(a)=-a+2-\frac{4}{a+1}$ nguyên $\iff (a+1)\mid 4\iff a+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}\iff a\in \{0,-2,1,-3,3,-5\}$, cho đúng 6 điểm $M(0;-2),(-2;8),(1;-1),(-3;7),(3;-2),(-5;8)$. Đúng.

Kết luận: cả bốn ý a), b), c), d) đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1+\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-x+2-\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+2$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=1$ và $x=-3$: điểm $(1;-1)$ và $(-3;7)$, khoảng cách $=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại $M(a)$ và hai tiệm cận luôn bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{|a+1|}\cdot 2|a+1|=8$ với mọi $a\ne -1$. Điểm nguyên trên $(C)$: $(a+1)\mid 4$ cho đúng 6 điểm $(0;-2),(-2;8),(1;-1),(-3;7),(3;-2),(-5;8)$. Đúng.