Cho hàm số $y=f(x)=x^2+1$ và hàm số $y=g(x)=2x$. Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x),g(x)$ và trục $Oy$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt khi $x^2+1=2x\iff (x-1{)}^2=0\iff x=1$. Trên $[0;1]$ (cùng với trục $Oy$ tại $x=0$), ta có $f(x)\ge g(x)$ vì $f(x)-g(x)=(x-1{)}^2\ge 0$.

a) $\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C$ nên họ nguyên hàm $F(x)=\frac{x^3}{3}+x+C$ — ĐÚNG.

b) Diện tích $H={\int }_0^1[(x^2+1)-2x]dx={\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx={\frac{(x-1{)}^3}{3}|}_0^1=\frac{1}{3}\ne 3$ — SAI.

c) Họ nguyên hàm của $g(x)=2x$ là $G(x)=x^2+C$; thiếu hằng số $C$ nên $G(x)=x^2$ không phải họ nguyên hàm — SAI.

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay $H$ quanh $Ox$: $V=\pi {\int }_0^1[(x^2+1{)}^2-(2x{)}^2]dx=\pi {\int }_0^1(x^4-2x^2+1)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)=\frac{8\pi }{15}$ — ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $H={\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}$, không bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $G(x)=x^2+C$, thiếu hằng số $C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1[(x^2+1{)}^2-4x^2]dx=\frac{8\pi }{15}$, đúng.