Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\le 1\\ x-y+1\ge 0\\ x+2y+3\ge 0\\ y+2\ge 0\end{array}.$$ Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các đường thẳng: $d_1:\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y=12$ (đi qua $(3,0),(0,4)$); $d_2:x-y+1=0$; $d_3:x+2y+3=0$; $d_4:y=-2$.

Tọa độ giao điểm và kiểm tra tính thỏa mãn cả bốn bất phương trình:
- $d_1\cap d_2$: giải $4x+3y=12$, $y=x+1$ $\Rightarrow 7x+3=12\Rightarrow x=\frac{9}{7},y=\frac{16}{7}$. Điểm $\left(\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_1\cap d_3$: $\left(\frac{33}{5};-\frac{24}{5}\right)$, nhưng $y=-\frac{24}{5}<-2$ nên bị loại.
- $d_1\cap d_4$: $y=-2\Rightarrow 4x-6=12\Rightarrow x=\frac{9}{2}$. Điểm $\left(\frac{9}{2};-2\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_2\cap d_3$: $y=x+1\Rightarrow x+2x+2+3=0\Rightarrow x=-\frac{5}{3},y=-\frac{2}{3}$. Điểm $\left(-\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_2\cap d_4$: $(-3;-2)$, nhưng $-3-4+3=-4<0$ vi phạm $x+2y+3\ge 0$, loại.
- $d_3\cap d_4$: $y=-2\Rightarrow x-4+3=0\Rightarrow x=1$. Điểm $(1;-2)$ thỏa mọi BPT.

Vậy miền nghiệm là tứ giác (kể cả biên) với các đỉnh $\left(\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$, $\left(\frac{9}{2};-2\right)$, $(1;-2)$, $\left(-\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$: phần nằm dưới hoặc trên đường thẳng $4x+3y=12$ (phía chứa gốc tọa độ vì $0\le 1$), phía dưới đường $x-y+1=0$ (phía chứa $(0,0)$ vì $1\ge 0$), phía trên đường $x+2y+3=0$ (phía chứa $(0,0)$ vì $3\ge 0$), và phía trên đường $y=-2$. Miền nghiệm là tập $\{(x,y):\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\le 1,x-y+1\ge 0,x+2y+3\ge 0,y\ge -2\}$, gồm cả biên.