Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+xy=7\\ x^4+y^4+x^2{y}^2=21\end{array}$. Hệ đã cho có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Ta có hằng đẳng thức: $x^4+y^4+x^2{y}^2=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)$.
Thay vào phương trình thứ hai: $7(x^2+y^2-xy)=21\iff x^2+y^2-xy=3$.
Kết hợp với $x^2+y^2+xy=7$, ta được:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ xy=2\end{array}\Rightarrow (x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=5+4=9\Rightarrow x+y=\pm 3$.
- Trường hợp 1: $x+y=3,xy=2\Rightarrow (x,y)\in \{(1;2),(2;1)\}$.
- Trường hợp 2: $x+y=-3,xy=2\Rightarrow (x,y)\in \{(-1;-2),(-2;-1)\}$.
Vậy hệ phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.