Cho hình bình hành ABCD có DA = 4, DC = 5, ADC = 60 . a) Chứng minh AB + AC + BC = 2 AC . b) Tính độ dài vectơ AB + AC + BC . c) Điểm M thuộc đường chéo AC, M k

Question

Cho hình bình hành ABCD có DA = 4, DC = 5, ADC = 60 . a) Chứng minh AB + AC + BC = 2 AC . b) Tính độ dài vectơ AB + AC + BC . c) Điểm M thuộc đường chéo AC, M không trùng với các đỉnh A, C. Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho MP song song với BC, MQ song song với AB. Gọi N là giao điểm của AQ và CP. Giả sử DN = m DA + n DC . Tìm giá trị lớn nhất của m + n.

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: a) Ta có AB + AC + BC = ( AB + BC ) + AC = AC + AC = 2 AC . b) Xét tam giác ADC có: AC 2 = DA 2 + DC 2 - 2 DA DC ADC ; AC 2 = 4 2 + 5 2 - 2 4 5 60 = 21. Suy ra AC = 21 . Vậy | AB + AC + BC | = |2 AC | = 2AC = 2 21 . c) Đặt AM = k AC , suy ra BQ = k BC , AP = k AB , BP = (1-k) BA , k (0;1). Giả sử AN = x AQ , CN = y CP . Ta có DN = DA + AN = DA + x AQ = DA + x ( AB + BQ ) = DA + x ( DC + k BC ) = DA + x ( DC - k DA ) = (1 - xk) DA + x DC , DN = DC + CN = DC + y CP = DC + y ( CB + BP ) = DC + y ( DA + (1-k) BA ) = DC + y DA - y(1-k) DC = y DA + (1 - y + yk) DC . Suy ra cases 1 - xk = y \ x = 1 - y + yk cases , hay cases x = k k 2 - k + 1 \ y = 1-k k 2 - k + 1 cases . Khi đó DN = 1-k k 2 - k + 1 DA + k k 2 - k + 1 DC , m + n = 1-k k 2 - k + 1 + k k 2 - k + 1 = 1 k 2 - k + 1 = 1 (k - 1 2 ) 2 + 3 4 4 3 , k (0;1). Vậy giá trị lớn nhất của m + n bằng 4 3 , đạt được khi k = 1 2 , tức là M là trung điểm của AC.

Đề Cuối Học Kỳ 1 Toán 10 Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2025-2026

Các câu hỏi khác trong đề (21 câu)