Cho hình chóp đều $S.ABC$. Biết $SA=SB=SC=a$, $AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$. Giá trị của $\cos \phi$ bằng:

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Xét hình chóp đều $S.ABC$ có các cạnh bên bằng $a$ và đáy là tam giác đều cạnh $b=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Vì tam giác $SAC$ và $SBC$ cân tại $S$ với $SA=SB=SC=a$ và $AC=BC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, hạ đường cao từ $A$ và $B$ đến cạnh chung $SC$.
Trong tam giác cân $SAC$ có $SA=SC=a,AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ $AH\perp SC$ ($H\in SC$). Do tính đối xứng, ta cũng có $BH\perp SC$ và $BH=AH$.
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ là góc giữa $AH$ và $BH$, ký hiệu $\phi$.
Ta có: $\cos \phi =|\cos \widehat{AHB}|=\left|\frac{A{H}^2+B{H}^2-A{B}^2}{2AH\cdot BH}\right|=\left|1-\frac{A{B}^2}{2A{H}^2}\right|$.
Tính $AH$:
Diện tích tam giác $SAC$ với nửa chu vi $p=a+\frac{a\sqrt{3}}{4}$:
Đường cao từ $S$ xuống đáy $AC$ là $d=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}$.
$S_{SAC}=\frac{1}{2}AC\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{13}}{4}=\frac{a^2\sqrt{39}}{16}$.
Đồng thời $S_{SAC}=\frac{1}{2}SC\cdot AH=\frac{1}{2}a\cdot AH⟹AH=\frac{a\sqrt{39}}{8}$.
Khi đó:
$$\cos \widehat{AHB}=\frac{2A{H}^2-A{B}^2}{2A{H}^2}=1-\frac{A{B}^2}{2A{H}^2}=1-\frac{\frac{3a^2}{4}}{2\cdot \frac{39a^2}{64}}=1-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{39}{32}}=1-\frac{3}{4}\times \frac{32}{39}=1-\frac{8}{13}=\frac{5}{13}.$$
Vì $\cos \widehat{AHB}>0$, góc $\widehat{AHB}$ nhọn nên $\cos \phi =\frac{5}{13}$.