Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ tạo với đáy một góc $30^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng:

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích đáy $ABC$ vuông tại $A$ là:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)⟹A^{\prime }H\perp BC$ (định lý ba đường vuông góc).
Do đó góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A^{\prime }HA}=30^{\circ }$.
Độ dài đường cao $AH$ trong tam giác vuông $ABC$:
$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}⟹AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Chiều cao của lăng trụ:
$$A^{\prime }A=AH\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{2}.$$
Thể tích khối lăng trụ đứng là:
$$V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }A=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$