Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$; có tọa độ ba đỉnh $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(6;1;0)$. Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$, tìm mệnh đề đúng?

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-2)⟹AB=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=3$.
Vì $ABCD$ là hình thang hai đáy $AB,CD$ nên véctơ $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, tức $\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ với $k>0$.
Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$ là chiều cao $h$ của hình thang.
Ta có $\overrightarrow{AC}=(5;-1;-1)$.
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=((-2)(-1)-(-2)(-1);(-2)(5)-1(-1);1(-1)-(-2)(5))=(0;-9;9)$.
$h=d(C,AB)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|}{AB}=\frac{\sqrt{0^2+(-9{)}^2+9^2}}{3}=\frac{9\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{2}$.
Diện tích hình thang:
$$S=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=6\sqrt{2}⟹\frac{3+CD}{2}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}⟹3+CD=4⟹CD=1.$$
Do $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và $CD=1=\frac{1}{3}AB$ nên:
$$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right).$$
Suy ra tọa độ điểm $D$:
$$\{\begin{array}{l}{x}_D=x_C-\frac{1}{3}=6-\frac{1}{3}=\frac{17}{3}\\ y_D=y_C+\frac{2}{3}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\\ z_D=z_C+\frac{2}{3}=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\end{array}$$
Do đó $D\left(\frac{17}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$.
Vậy:
$$a+b+c=\frac{17}{3}+\frac{5}{3}+\frac{2}{3}=\frac{24}{3}=8.$$