Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ thuộc $[0;2021]$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x^3-3(m+1)x^2+6mx-1$ trên đoạn $[1;2]$ bằng 3?

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có đạo hàm:
$$y^{\prime }=6x^2-6(m+1)x+6m=6(x^2-(m+1)x+m)=6(x-1)(x-m).$$
$$y^{\prime }=0⟺[\begin{array}{l}x=1\\ x=m\end{array}$$
Xét trên đoạn $[1;2]$ với $m\in [0;2021]$:
- Nếu $m\le 1$: trên khoảng $(1;2)$, ta có $x-1>0$ và $x-m>0$, do đó $y^{\prime }>0,\forall x\in (1;2)$.
Hàm số đồng biến trên $[1;2]$, suy ra:
$$\underset{[1;2]}{\min }y=y(1)=2-3(m+1)+6m-1=3m-2.$$
Yêu cầu bài toán: $3m-2=3⟺3m=5⟺m=\frac{5}{3}>1$ (loại vì đang xét $m\le 1$).
- Nếu $m\ge 2$: trên khoảng $(1;2)$, ta có $x-1>0$ và $x-m\le 0$, do đó $y^{\prime }\le 0,\forall x\in [1;2]$.
Hàm số nghịch biến trên $[1;2]$, suy ra:
$$\underset{[1;2]}{\min }y=y(2)=2(8)-3(m+1)(4)+6m(2)-1=16-12m-12+12m-1=3.$$
Điều này luôn đúng với mọi $m\ge 2$!
- Nếu $1<m<2$: hàm số đạt cực tiểu tại $x=m\in (1;2)$.
Giá trị nhỏ nhất là:
$$y(m)=2m^3-3(m+1)m^2+6m^2-1=-m^3+3m^2-1.$$
Phương trình $-m^3+3m^2-1=3⟺m^3-3m^2+4=0⟺(m+1)(m-2{)}^2=0$, không có nghiệm trong khoảng $(1;2)$.
Vậy điều kiện cần và đủ là $m\ge 2$.
Kết hợp với $m\in [0;2021]$ và $m$ nguyên, ta được $m\in \{2,3,\dots ,2021\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $2021-2+1=2020$ giá trị.