Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, cạnh bên $SA=2a$. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng $(SDC)$ và $(SAC)$ bằng $\frac{\sqrt{b}}{c}$ với phân số tối giản, $b>0,c>0$. Tính $T=b+2c$.

Chọn hệ trục tọa độ hoặc dùng hình học không gian:
Đáy hình vuông cạnh $a\sqrt{2}\Rightarrow AC=BD=2a\Rightarrow OA=OB=OC=OD=a$.
Chiều cao hình chóp $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
Đặt $O(0;0;0)$ là gốc tọa độ:
$A(-a;0;0),C(a;0;0),B(0;-a;0),D(0;a;0),S(0;0;a\sqrt{3})$.
Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $Ox$ và $Oz$ nên có phương trình $y=0$, VTPT ${\vec{n}}_1=(0;1;0)$.
Mặt phẳng $(SDC)$: đi qua $D(0;a;0),C(a;0;0),S(0;0;a\sqrt{3})$, phương trình đoạn chắn:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a\sqrt{3}}=1\iff \sqrt{3}x+\sqrt{3}y+z-a\sqrt{3}=0$, có VTPT ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3};\sqrt{3};1)$.
Côsin của góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos ((SDC),(SAC))=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{\sqrt{3}}{1\cdot \sqrt{3+3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 601: $T=b+2c=17$).