Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Biết $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có $SM=\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{2a^2+3a^2}=a\sqrt{5}$.
a) Đúng: $BC\perp AM$ (tam giác đều) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAM)\Rightarrow BC\perp AH$. Mặt khác $AH\perp SM$ (giả thiết). Vậy $AH\perp (SBC)$.
b) Đúng: Vì $AH\perp (SBC)$ nên hình chiếu của $S$ trên $(SBC)$ là $S$, hình chiếu của $A$ là $H$, do đó hình chiếu của $SA$ là $SH$; góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là $\widehat{ASH}$.
c) Sai: $AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}\approx 1,095a\ne \frac{6\sqrt{2}a}{5}$.
d) Đúng: $\sin \widehat{ASH}=\frac{AH}{SA}=\frac{a\sqrt{30}/5}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AM$ và $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAM)\Rightarrow BC\perp AH$; cộng với $AH\perp SM$ suy ra $AH\perp (SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $SA$ lên $(SBC)$ là $SH$ (vì $AH\perp (SBC)$), nên góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là $\widehat{ASH}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$, khác $\frac{6\sqrt{2}a}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \widehat{ASH}=\frac{AH}{SA}=\frac{\sqrt{30}/5}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.