Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại đỉnh $A$, cạnh $BC=a,AC=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, các cạnh bên $SA=SB=SC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính góc tạo bởi mặt bên $(SAB)$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$.

Vì $△ABC$ vuông tại $A$ nên $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{a^2-\frac{6a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Do $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $△ABC$, chính là trung điểm $H$ của cạnh huyền $BC$. Ta có $AH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$. Chiều cao hình chóp là $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, khi đó $HK\parallel AC$ (đường trung bình) và $HK\perp AB$ tại $K$, suy ra góc giữa $(SAB)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SKH}$. Ta có $HK=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{6}}{6}$. Do đó $\tan \widehat{SKH}=\frac{SH}{HK}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{6}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SKH}=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$. Vậy chọn A.