Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, $SH\perp (ABC)$ với $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,SC$.
a) Chứng minh $BC\perp (SHE)$.
b) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng $(HEF)$ và $(ABC)$ biết $SH=4$, $BC=8$.

(AI giải đề cho tôi)
PHẦN III - Câu 3

a) Chứng minh $BC\perp (SHE)$:
- Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $AC\perp BC$. Vì $H$ là trung điểm $AB$, $E$ là trung điểm $BC$ nên $HE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $HE\parallel AC$. Do đó $HE\perp BC$.
- Vì $SH\perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)$ nên $SH\perp BC$.
- Ta có $BC\perp HE$, $BC\perp SH$ với $HE,SH\subset (SHE)$ và $HE\cap SH=H$, suy ra $BC\perp (SHE)$.

b) Xác định và tính góc giữa $(HEF)$ và $(ABC)$:
- Ta có $H\in (ABC)\cap (HEF)$ và $E\in (ABC)\cap (HEF)$ nên giao tuyến của $(HEF)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $HE$.
- Gọi $M$ là trung điểm của $HC$. Vì $F$ là trung điểm $SC$, $M$ là trung điểm $HC$ nên $FM$ là đường trung bình của tam giác $SHC$, suy ra $FM\parallel SH$. Mà $SH\perp (ABC)$ nên $FM\perp (ABC)$, tức $M$ là hình chiếu của $F$ lên $(ABC)$.
- Trong $(HEF)$, kẻ $FP\perp HE$ tại $P$ ($P\in HE$). Vì $FM\perp (ABC)$ nên góc giữa $(HEF)$ và $(ABC)$ là góc giữa $FP$ và hình chiếu $PM$ của nó trên $(ABC)$, tức là góc $FPM$ (do $FP\perp HE$ nên góc này chính là góc phẳng nhị diện theo giao tuyến $HE$).
- Tính toán: đặt hệ trục $C(0;0;0)$, $A(8;0;0)$, $B(0;8;0)$ thì $H(4;4;0)$, $S(4;4;4)$, $E(0;4;0)$, $F(2;2;2)$, $M(2;2;0)$, $P(2;4;0)$.
Tam giác $FPM$ vuông tại $M$ với $FM=2$ (do $FM=\frac{1}{2}SH=2$) và $PM=2$ (do $PM=\frac{1}{2}\cdot$ khoảng cách từ $E$... cụ thể $PM=\frac{1}{2}H{E}_{extchi\grave{\hat{e}}uvu\hat{o}ngg\acute{o}c}=2$, chính là nửa đoạn vuông góc tương ứng với $BC$).
Suy ra $\tan (\widehat{FPM})=\frac{FM}{PM}=\frac{2}{2}=1$, nên $\widehat{FPM}=45^{\circ }$.

Kiểm tra bằng vectơ pháp tuyến: $(HEF)$ có $\overrightarrow{HE}=(-4;0;0)$, $\overrightarrow{EF}=(2;-2;2)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0;1;1)$; $(ABC)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(0;0;1)$. $\cos =\frac{1}{\sqrt{2}}$, góc bằng $45^{\circ }$ — khớp với kết quả trên.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(HEF)$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$.