Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=2a$.
a) Chứng minh: $(SBD)\perp (SAC)$.
b) Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Tính góc của $SO$ và $DI$ (làm tròn đến đơn vị độ)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13.

a) Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Khi đó $BD\perp (SAC)$ vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$. Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Đpcm.

b) Vì $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ và $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{3}$, $BD=a$. Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(a\sqrt{3};0;0)$, $O\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};0;0\right)$, $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};0\right)$, $D\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$, $S(0;0;2a)$.

$I$ là trung điểm $BC$: $I\left(\frac{3a\sqrt{3}}{4};-\frac{a}{4};0\right)$.

$\overrightarrow{SO}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};0;-2a\right)$, $\overrightarrow{DI}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4};-\frac{3a}{4};0\right)$.

$|SO|=a\sqrt{\frac{3}{4}+4}=\frac{a\sqrt{19}}{2}$, $|DI|=a\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{9}{16}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\overrightarrow{SO}\cdot \overrightarrow{DI}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2}{8}$.

$\cos \theta =\frac{\frac{3a^2}{8}}{\frac{a\sqrt{19}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{2\sqrt{57}}\approx 0,1987$, suy ra góc giữa $SO$ và $DI$ xấp xỉ $79^{\circ }$.