Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$, $H$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $AC=3AH$. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ b) Chứng minh rằng $GH//(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa điểm $S$ và cùng chứa đường thẳng $SA$ (vì $A\in (SAB)$, $A\in (SAD)$). Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $SA$.

b) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O=AC\cap BD$ là trung điểm cả hai đường chéo, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ nên $\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}}{3}$.

Vì $AC=3AH$ nên $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$, do đó $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\frac{4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{3}$.

Khi đó:
$$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}=\frac{4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{3}-\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}}{3}=\frac{3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OD}}{3}.$$

Do $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$ nên $3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. Ta có:
$$\overrightarrow{GH}=\frac{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OS}}{3}.$$

Cách khác gọn hơn (dùng điểm $A$ làm gốc): $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AD}}{3}$, $\overrightarrow{AH}=\frac{\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{3}$ (vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ do $ABCD$ hình bình hành). Suy ra
$$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AS}}{3}=\frac{\overrightarrow{SB}}{3}.$$

Vậy $\overrightarrow{GH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}$, tức $GH//SB\subset (SBC)$ và $GH\not\subset (SBC)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $GH//(SBC)$. $■$