Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $H,I,K$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $KD$, $N$ là giao điểm của $DH$ và $CI$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;1)$. Khi đó $H(0;0;\frac{1}{2}),I(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}),K(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.

a) Trong tam giác $SAB$, $H,I$ là trung điểm của $SA,SB$ nên $HI\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABCD)$ và $HI\not\subset (ABCD)$ nên $HI\parallel (ABCD)$. **Đúng**.

b) Tương tự $IK\parallel BC\subset (ABCD)$. Mặt phẳng $(HIK)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $HI,IK$ cùng song song với $(ABCD)$ nên $(HIK)\parallel (ABCD)$ (thực chất $(HIK)$ là mặt phẳng $z=\frac{1}{2}$). **Đúng**.

c) Tính giao điểm: $AI$: $(\frac{t}{2};0;\frac{t}{2})$; $KD$: $(\frac{1-s}{2};\frac{1+s}{2};\frac{1-s}{2})$. Giải hệ được $s=-1,t=2$, tức $M(1;0;1)$. $DH$: $(0;1-u;\frac{u}{2})$; $CI$: $(1-\frac{v}{2};1-v;\frac{v}{2})$. Giải hệ được $u=v=2$, tức $N(0;-1;1)$.
Khi đó $\overrightarrow{SM}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{HI}=(\frac{1}{2};0;0)$ cùng phương, nên $SM\parallel HI$ (cùng nằm trong mặt phẳng $y=0$), không chéo nhau. **Sai**.

d) $S(0;0;1),M(1;0;1),N(0;-1;1)$ đều có tung độ $z=1$ và không thẳng hàng, nên $(SMN)$ là mặt phẳng $z=1$, song song với $(HIK)$ là mặt phẳng $z=\frac{1}{2}$. Vậy $(SMN)\parallel (HIK)$, không cắt nhau. **Sai**.
a) (AI giải đề cho tôi)
$HI$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HI\parallel AB\subset (ABCD)$, do đó $HI\parallel (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$HI\parallel AB$, $IK\parallel BC$ (hai đường thẳng cắt nhau) cùng song song với $(ABCD)$, nên $(HIK)\parallel (ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã chọn, $M(1;0;1)$, $\overrightarrow{SM}=(1;0;0)$ cùng phương với $\overrightarrow{HI}=(\frac{1}{2};0;0)$, tức $SM\parallel HI$: hai đường thẳng song song chứ không chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S,M,N$ đều nằm trên mặt phẳng $z=1$ (vì $N(0;-1;1)$), còn $(HIK)$ là mặt phẳng $z=\frac{1}{2}$. Hai mặt phẳng này song song nên không cắt nhau.