Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A,M$ và song song với $SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$, tính tỉ số $\frac{SN}{SB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K=AM\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$. Xét tam giác $BDC$ với đường thẳng $AMK$ cắt các đường thẳng $BD$, $BC$, $DC$ (kéo dài) tại $K$, $M$, $A$; áp dụng Menelaus: $\frac{BK}{KD}\cdot \frac{DA}{AC}\cdot \frac{CM}{MB}=1$ với $\frac{CM}{MB}=1$ và $\frac{DA}{AC}=\frac{AB}{AC}$, suy ra $\frac{BK}{KD}=\frac{1}{2}$, tức $\frac{BK}{BD}=\frac{1}{3}$. Kiểm chứng bằng tọa độ: chọn $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;1)$, $M\left(1;\frac{1}{2};0\right)$. Đường $AM$: $(t;\frac{t}{2};0)$; đường $BD$: $(s;1-s;0)$. Giao điểm: $t=s$, $\frac{t}{2}=1-t\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $K=\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0\right)$ và $\overrightarrow{BK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$, tức $\frac{BK}{BD}=\frac{1}{3}$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng qua $K$ song song với $SD$ (vì $(\alpha )\parallel SD$), đường thẳng này cắt $SB$ tại $N$. Tam giác $BKN$ đồng dạng tam giác $BDS$ với tỉ số $\frac{BK}{BD}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{BN}{BS}=\frac{1}{3}$, do đó $\frac{SN}{SB}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Kiểm chứng bằng tọa độ: $(\alpha )$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{SD}=\left(-\frac{1}{2};1;1\right)$, phương trình $-\frac{1}{2}x+y+z=0$. Điểm $N$ trên $SB$: $N=(t;0;1-t)$; thay vào: $-\frac{1}{2}t+1-t=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$.