Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(SBD)$. Khi đó $\overrightarrow{IA}=k\overrightarrow{IM}$. Tìm giá trị của $k^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ với gốc $A$: đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Do $M$ là trung điểm $SC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC}}{2}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Điểm $I$ thuộc đường thẳng $AM$ nên $\overrightarrow{AI}=t\overrightarrow{AM}=\frac{t}{2}\vec{s}+\frac{t}{2}\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{d}$. Vì $I$ thuộc mặt phẳng $(SBD)$, với biểu diễn $\overrightarrow{AI}=\alpha \vec{s}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{d}$ phải có $\alpha +\beta +\gamma =1$, tức $\frac{3t}{2}=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$, do đó $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IM}$, tức $k=-2$. Vậy $k^3=(-2{)}^3=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: $-8$.