Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{EA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}}{2},\overrightarrow{SN}=\frac{\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}}{2},\overrightarrow{SP}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}.$$

Gọi $E$ thuộc $SA$ với $\overrightarrow{SE}=t\vec{a}$. Vì $E\in (MNP)$ nên tồn tại $\lambda ,\mu$ sao cho:
$$\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{SM}+\lambda (\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM})+\mu (\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM}).$$
Với $\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b}}{2}$ và $\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{c}}{2}$, so sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$:
- Theo $\vec{b}$: $\frac{1-2\lambda }{2}=0\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2}$.
- Theo $\vec{c}$: $\frac{\lambda +\mu }{2}=0\Rightarrow \mu =-\frac{1}{2}$.
- Theo $\vec{a}$: $t=\frac{\lambda }{2}=\frac{1}{4}$.

Vậy $\frac{SE}{SA}=\frac{1}{4}$, suy ra $\frac{SE}{EA}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$, tức $m=1,n=3$ (phân số tối giản).

Do đó $2m+n=2\cdot 1+3=5$, trùng với đáp án của đề.