Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$, $BC$ và $SD$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục S làm gốc, đặt vectơ $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$; vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$. Khi đó $M=\frac{\vec{b}}{2}$, $P=\frac{\vec{d}}{2}$, $N=\vec{b}+\frac{\vec{d}}{2}-\frac{\vec{a}}{2}$.
a) Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$ và đường thẳng $SA$, nên giao tuyến của chúng là $SA$. → Đúng.
b) Trong tam giác $SBD$, $MP$ là đường trung bình nên $MP\parallel BD$. Trong tam giác $SBC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel SC$, suy ra $SC\parallel (MNP)$. Vì $SC$ không song song với $BD$ (tức không song song $MP$) nên $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau. → Sai.
c) Vì $MP\parallel BD$, $MP\subset (MNP)$, $BD\subset (ABCD)$ nên giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $BD$ (cũng song song với $MP$). → Đúng.
d) Điểm $K=\overrightarrow{SK}=t\vec{a}$ thuộc $(MNP)$ khi $t\vec{a}=\frac{\vec{b}}{2}+\alpha \frac{\vec{d}-\vec{b}}{2}+\beta \frac{\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}}{2}$. So sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ ta được $\beta =2t$, $\alpha =-\beta$, $1-\alpha +\beta =0$, giải ra $\beta =-\frac{1}{2}$, $t=-\frac{1}{4}$. Vậy giao điểm của đường thẳng $SA$ với $(MNP)$ thỏa $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}$. → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (ĐSĐS), trùng với đáp án mã 111 (DSDS theo thứ tự Đúng–Sai–Đúng–Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAC)$ cùng chứa điểm $S$ và đường thẳng $SA$, nên giao tuyến là $SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP\parallel BD$ (đường trung bình tam giác $SBD$) và $MN\parallel SC$ (đường trung bình tam giác $SBC$) nên $SC\parallel (MNP)$; vì $SC$ không song song $MP$ nên $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $MP\parallel BD$ với $MP\subset (MNP)$, $BD\subset (ABCD)$, giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua $N$ song song với $BD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ toạ độ với gốc $S$: $\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SD}=\vec{d},\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$. Giải điều kiện $t\vec{a}\in (MNP)$ cho $t=-\frac{1}{4}$, tức $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}$.