Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$, $AC{C}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng nào sau đây song song với $(IJK)$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $A^{\prime }=(0,0,1)$ (lăng trụ đứng, không mất tính tổng quát vì kết quả chỉ phụ thuộc quan hệ song song). Khi đó $B^{\prime }=(1,0,1)$, $C^{\prime }=(0,1,1)$.

Trọng tâm: $I=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0\right)$, $J=\left(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$, $K=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$.

Vectơ chỉ phương của $(IJK)$: $\overrightarrow{IJ}=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$, $\overrightarrow{IK}=\left(0,0,\frac{2}{3}\right)$, nên pháp tuyến ${\vec{n}}_1\propto (1,1,0)$, tức $(IJK)$ có dạng $x+y=\frac{2}{3}$.

Xét $(B{B}^{\prime }C)$: đi qua $B=(1,0,0)$, $B^{\prime }=(1,0,1)$, $C=(0,1,0)$, có vectơ chỉ phương $(0,0,1)$ và $(-1,1,0)$, pháp tuyến ${\vec{n}}_2\propto (1,1,0)$. Vậy ${\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$ và $(B{B}^{\prime }C)$ không chứa điểm nào của $(IJK)$ (mặt phẳng $x+y=1$), nên $(IJK)\parallel (B{B}^{\prime }C)$.

Kiểm tra các phương án khác: $(A{A}^{\prime }B)$ có pháp tuyến $(0,1,0)$; $(C{C}^{\prime }A)$ có pháp tuyến $(1,0,0)$; $(B{C}^{\prime }A)$ có pháp tuyến $(0,1,-1)$ — đều không song song với $(1,1,0)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.