Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Trên các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $J$. Tính tỉ số $\frac{SJ}{SC}$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $S$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c},\overrightarrow{SD}=\mathbf{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, tức $\mathbf{a}=\mathbf{b}+\mathbf{d}-\mathbf{c}$, và $\overrightarrow{SO}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$.

Ta có $M=\frac{2}{3}\mathbf{b},N=\frac{2}{3}\mathbf{d}$. Mặt phẳng $(AMN)$ có hai vectơ chỉ phương $\mathbf{u}=\mathbf{a}-\frac{2}{3}\mathbf{b}=\frac{1}{3}\mathbf{b}+\mathbf{d}-\mathbf{c}$ và $\mathbf{v}=\mathbf{a}-\frac{2}{3}\mathbf{d}=\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{d}-\mathbf{c}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $O$ song song $(AMN)$ nên $J=t\mathbf{c}=\overrightarrow{SO}+\mu \mathbf{u}+\nu \mathbf{v}$. So sánh hệ số:
$$\frac{1}{2}+\frac{\mu }{3}+\nu =0,\frac{1}{2}+\mu +\frac{\nu }{3}=0,t=-\mu -\nu .$$
Do đối xứng, $\mu =\nu =-\frac{3}{8}$, suy ra $t=\frac{3}{4}=0,75$.

Vậy $\frac{SJ}{SC}=0,75$, khớp với đáp án nguồn $0,75$.