Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-x-2}{x-2}& \text{khi }x\ne 2\\ 2x-1& \text{khi }x=2\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$. Mặt khác $f(2)=2\cdot 2-1=3$. Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$, hàm số liên tục tại $x=2$. a) Sai vì hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn. b) Sai vì hàm số liên tục trên toàn $\mathbb{R}$ (với $x\ne 2$ là hàm đa thức $x+1$, tại $x=2$ liên tục như trên). c) Sai vì hàm đã cho xác định tại mọi $x$, kể cả $x=2$ (có công thức riêng $2x-1$), nên $D=\mathbb{R}$. d) Đúng, theo định nghĩa liên tục tại một điểm. Kết quả khớp đáp án nguồn SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3=f(2)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ và liên tục với mọi $x\ne 2$ (đa thức $x+1$), nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số được định nghĩa tại cả $x=2$ với $f(2)=2x-1=3$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa liên tục tại một điểm: hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.