Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, $AD=a$, $△SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$.

a) Chứng minh $BC\perp (SAB)$.

b) Tính góc giữa $SD$ và $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Tam giác $SAB$ đều nằm trong mặt phẳng $(SAB)\perp (ABCD)$, với giao tuyến là $AB$. Vì $BC\subset (ABCD)$ và $BC\perp AB$ (đường thẳng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến) nên theo định lý ba mặt phẳng vuông góc, $BC\perp (SAB)$.

b) Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ nên $SH\perp AB$ và $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Do $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$, với $SH\subset (SAB)$ và $SH\perp AB$ nên $SH\perp (ABCD)$. Vậy $DH$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\phi =\widehat{SDH}$.

Trong mặt phẳng đáy: $AH=a$, $AD=a$, $AD\perp AH$ nên $DH=\sqrt{A{H}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}$.

$$\tan \phi =\frac{SH}{DH}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \phi =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}\approx 50,77^{\circ }.$$

Vậy góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ bằng $\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}\approx 50,77^{\circ }$.