Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1;AD=\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ vuông góc với $SC$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $(\alpha )$ với hình chóp đã cho. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;\sqrt{3};0)$, $C(1;\sqrt{3};0)$, $S(0;0;2)$. Vectơ $\overrightarrow{SC}=(1;\sqrt{3};-2)$ nên mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$ vuông góc với $SC$ có phương trình: $x+\sqrt{3}y-2z=0$.

Tìm giao điểm:
- Với $SB$: điểm $E\left(\frac{4}{5};0;\frac{2}{5}\right)$ (thay $(t;0;2-2t)$: $t-2(2-2t)=0\Rightarrow t=\frac{4}{5}$).
- Với $SC$: điểm $G\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$ (thay $(t;\sqrt{3}t;2-2t)$: $t+3t-2(2-2t)=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$).
- Với $SD$: điểm $F\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{7};\frac{6}{7}\right)$ (thay $(0;\sqrt{3}t;2-2t)$: $3t-2(2-2t)=0\Rightarrow t=\frac{4}{7}$).

Thiết diện là tứ giác $AEGF$. Chia theo đường chéo $AG$:
- $\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AG}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{5};-\frac{3}{5};\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)$, độ dài $\frac{2\sqrt{6}}{5}$, nên $S_{AEG}=\frac{\sqrt{6}}{5}$.
- $\overrightarrow{AG}\times \overrightarrow{AF}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{7};-\frac{3}{7};\frac{2\sqrt{3}}{7}\right)$, độ dài $\frac{2\sqrt{6}}{7}$, nên $S_{AGF}=\frac{\sqrt{6}}{7}$.

Vậy $S=S_{AEG}+S_{AGF}=\frac{\sqrt{6}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{7}=\frac{12\sqrt{6}}{35}\approx 0,8397\approx 0,84$, khớp với đáp án nguồn.