Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{2};AD=2a$. Biết tam giác $SAB$ là tam giác cân tại $S$, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng $\frac{a^2\sqrt{6}}{6}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH\perp AB$; do $(SAB)\perp (ABCD)$ và $SH\subset (SAB)$, giao tuyến là $AB$ nên $SH\perp (ABCD)$.

Diện tích tam giác $SAB$: $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SH=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot SH=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;2a;0)$, $S\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ta có $\overrightarrow{BS}=\left(-\frac{a\sqrt{2}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, $\overrightarrow{BD}=(-a\sqrt{2};2a;0)$, nên
$$\vec{n}=\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BD}=\left(-\frac{2a^2\sqrt{3}}{3};-\frac{a^2\sqrt{6}}{3};-a^2\sqrt{2}\right)\parallel (\sqrt{6};\sqrt{3};3).$$
Mặt phẳng $(SBD)$ qua $B$: $\sqrt{6}(x-a\sqrt{2})+\sqrt{3}y+3z=0$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:
$$d(A,(SBD))=\frac{\sqrt{6}\cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{6+3+9}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

Kiểm tra bằng thể tích: $V_{S.ABD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3\sqrt{6}}{9}$; độ dài $\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BD}$ bằng $2a^2$ nên $S_{SBD}=a^2$; do đó $d(A,(SBD))=\frac{3V}{S_{SBD}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Kết quả nhất quán.