Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $AB=a,AD=a\sqrt{3}$. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SHD).
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC).

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác SAB cân tại S nên $SH\perp AB$, mà $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$.

Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{3};0)$, $C(a;a\sqrt{3};0)$, $H(a/2;0;0)$, $S(a/2;0;h)$ với $h=SH>0$.

a) Mặt phẳng $(SHD)$ đi qua H và chứa vectơ $\overrightarrow{HS}=(0;0;h)$, $\overrightarrow{HD}=(-a/2;a\sqrt{3};0)$. Vectơ pháp tuyến:
$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{HS}\times \overrightarrow{HD}=(-a\sqrt{3}h;-ah/2;0)\parallel (2\sqrt{3};1;0).$$
Phương trình $(SHD)$: $2\sqrt{3}(x-a/2)+y=0$, tức $2\sqrt{3}x+y-a\sqrt{3}=0$ (kiểm tra: $D(0;a\sqrt{3};0)$ thỏa mãn).
$$d(A,(SHD))=\frac{|0+0-a\sqrt{3}|}{\sqrt{12+1}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{a\sqrt{39}}{13}.$$
Kết quả không phụ thuộc chiều cao $SH$.

b) Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $(SHC)\perp (ABCD)$, giao tuyến là $HC$. Do đó $d(D,(SHC))=d(D,HC)$ trong mặt đáy.

Đường thẳng $HC$ qua $H(a/2;0)$ có vectơ chỉ phương $(a/2;a\sqrt{3})\parallel (1;2\sqrt{3})$, phương trình: $2\sqrt{3}x-y-a\sqrt{3}=0$.
$$d(D,HC)=\frac{|2\sqrt{3}\cdot 0-a\sqrt{3}-a\sqrt{3}|}{\sqrt{13}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}.$$

Vậy: a) $d(A,(SHD))=\frac{a\sqrt{39}}{13}$; b) $d(D,(SHC))=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.