Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $\left(AB//CD;AB=2CD\right)$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$; $M$ trên cạnh $SB$ sao cho $BM=2SM$. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) Hai đường thẳng $CE$ và $AD$ song song với nhau.

b) $AB$ song song với $(SCD)$.

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(SAB)$ là đường thẳng $d$ đi qua $M$ và song song với $AB$.

d) Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SCD)$ cắt $SA,AD$ và $BC$ lần lượt tại $N;P;Q$. Khi đó $MNPQ$ là hình thang có $MN=\frac{1}{2}PQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang AB // CD, AB = 2CD; E trung điểm AB; M trên SB với BM = 2SM (tức SM:MB = 1:2).

a) ĐÚNG. Vì E là trung điểm AB nên AE = AB/2 = CD, mà AE // CD nên tứ giác AECD là hình bình hành suy ra CE // AD.

b) ĐÚNG. Vì AB // CD, CD nằm trong (SCD) và AB không nằm trong (SCD), theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng thì AB // (SCD).

c) ĐÚNG. Ta có CD // AB nên CD // (SAB). Mặt phẳng (MCD) đi qua CD và cắt (SAB) theo giao tuyến d. Theo định lí về giao tuyến (nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia thì giao tuyến song song với đường thẳng đó), d // CD // AB và d đi qua M. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua M song song với AB.

d) ĐÚNG. Vì (P) // (SCD), giao tuyến của (P) với (SAB) là MN, nên MN // SD... chính xác hơn, giao tuyến (P)∩(SAB) song song với giao tuyến (SCD)∩(SAB) là đường d // AB, nên MN // AB. Tương tự PQ // CD // AB. Trong tam giác SAB: SM/SB = 1/3 nên MN/AB = SM/SB = 1/3 ⇒ MN = AB/3 = 2CD/3. Trong tam giác SAD: NP // SD nên AN/AS = SM/SB = 1/3 ⇒ AP/AD = 2/3. Tương tự trong tam giác SBC, điểm Q chia BC theo tỉ số BQ/BC = 2/3. Đặt hệ toạ độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(u;1;0), C(u+1;1;0) thì P = (2u/3; 2/3; 0), Q = (2 + 2(u−1)/3; 2/3; 0), suy ra PQ = 2 − 2/3 = 4/3 (độ dài, với CD = 1), tức PQ = 4CD/3. Vậy MN = 2CD/3 = PQ/2 ⇒ MN = (1/2)PQ, và MN // PQ nên MNPQ là hình thang có MN = (1/2)PQ. Khẳng định đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn ĐDDD (mã đề 0112).
a) (AI giải đề cho tôi)
AE = AB/2 = CD và AE // CD nên AECD là hình bình hành, suy ra CE // AD.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB // CD với CD ⊂ (SCD), AB ⊄ (SCD) nên AB // (SCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
CD // AB nên CD // (SAB); (MCD) chứa CD và cắt (SAB) theo giao tuyến d đi qua M, với d // CD // AB.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN // AB với MN = AB/3 = 2CD/3 (do SM/SB = 1/3); PQ // CD với PQ = 4CD/3 (do AP/AD = BQ/BC = 2/3). Vậy MN // PQ và MN = (1/2)PQ: MNPQ là hình thang thoả mãn đề bài.