Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ và $AB=2DC$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=2MB$.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. (1đ)
b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh $OM\parallel (SBC)$. (1đ)
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $MG$ với mặt phẳng $(SBD)$. Chứng minh diện tích của tam giác $OMG$ bằng diện tích của tam giác $OKG$. (1đ)

Bài 2a: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. — 1.0đ
$\{\begin{array}{l}S\in (SAB)\cap (SCD)\\ AB\parallel CD\end{array}$ — 0.25×2
$\Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=d$ qua S và $d\parallel AB\parallel CD$ — 0.25×2

Bài 2b: Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh $OM\parallel (SBC)$. — 1.0đ
$AB\parallel DC\Rightarrow \frac{AO}{OC}=\frac{AB}{DC}=2$ — 0.25
$\Rightarrow \frac{AO}{OC}=\frac{AM}{MB}=2\Rightarrow OM\parallel BC\Rightarrow OM\parallel (SBC)$ — 0.25×3

Bài 2c: Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $MG$ với mặt phẳng $(SBD)$. Chứng minh diện tích của tam giác $OMG$ bằng diện tích của tam giác $OKG$. — 1.0đ

Gọi $N$ là trung điểm $SC$ và $F$ là giao điểm của $OG$ và $SA$.

Ta có: $\frac{AG}{GN}=\frac{AO}{OC}=2$ (G là trọng tâm tam giác $SAC$) $\Rightarrow OG\parallel SC\Rightarrow OF\parallel SC$. — 0.25

$\Rightarrow \frac{AF}{FS}=\frac{AO}{OC}=\frac{AM}{MB}\Rightarrow MF\parallel SB$ — 0.25

$\{\begin{array}{l}MF\parallel SB\\ (SBD)\cap (OMG)=OK\end{array}\Rightarrow OK\parallel SB\parallel MF$ — 0.25

$\Rightarrow \frac{MG}{GK}=\frac{FG}{GO}=\frac{SN}{NC}=1$ — 0.25

Vậy $\frac{S_{OMG}}{S_{OKG}}=\frac{MG}{GK}=1$. — 0.25