Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB=2CD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$; $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$ nên: a) Sai — giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(SDC)$ đi qua $S$ và song song với $AB$, $CD$ (do $AB\parallel CD$ nên chúng song song với giao tuyến), tức $d\parallel AB\parallel CD$, không song song với $AD$. b) Đúng — $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN$ là đường trung bình tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB\parallel CD$. c) Sai — dùng tọa độ: đặt $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0,5;1;0),C(1,5;1;0),S(s_x;s_y;h)$. Khi đó $O(1;\frac{2}{3};0)$, $G(\frac{s_x+2}{3};\frac{s_y}{3};\frac{h}{3})$, vectơ $3\overrightarrow{OG}=(s_x-1;s_y-2;h)$. Pháp tuyến của $(SBC)$: $\vec{n}=\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BC}=(-h;-0,5h;s_x-2+0,5s_y)$ (với $c=1,5$). Tích vô hướng $\vec{n}\cdot (3\overrightarrow{OG})=-h(s_x-1)-0,5h(s_y-2)+h(s_x-2+0,5s_y)=h[-s_x+1-0,5s_y+1+s_x-2+0,5s_y]=0$ với mọi $s_x,s_y,h$. Vậy $OG\parallel (SBC)$. Mặt khác $O\notin (SBC)$ (vì $(SBC)\cap (ABCD)=BC$ và $O\notin BC$), nên $OG$ và $(SBC)$ không có điểm chung nào, không phải đúng một điểm. Kiểm tra cụ thể $S(0;0;1)$: $\overrightarrow{OG}=(-\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{1}{3})$, $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(1;0,5;2)$, tích vô hướng $=0$. d) Đúng — với tọa độ trên, $N(\frac{s_x+2}{2};\frac{s_y}{2};\frac{h}{2})$, $\overrightarrow{CN}=(\frac{s_x-1}{2};\frac{s_y-2}{2};\frac{h}{2})$ và $\det (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS},\overrightarrow{CN})=0$ với mọi cấu hình, nên $NC\parallel (SAD)$ (và $C\notin (SAD)$ vì $ABCD$ là hình thang thật).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(SDC)$ qua $S$ và song song với $AB$, $CD$; do đó $d\parallel AB\parallel CD$, không song song với $AD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MN\parallel AB$; mà $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel DC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0,5;1;0),C(1,5;1;0),S(s_x;s_y;h)$. Vì $AB=2CD$ và $AB\parallel CD$, giao điểm $O$ của $AC$ và $BD$ thỏa $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$, tức $O(\frac{2c}{3};\frac{2}{3};0)$ với $c=1,5$. Trọng tâm $G(\frac{s_x+2}{3};\frac{s_y}{3};\frac{h}{3})$, nên $3\overrightarrow{OG}=(s_x+2-2c;s_y-2;h)$. Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BC}=(-h;h(c-2);s_x-2-s_y(c-2))$. Khi đó $\vec{n}\cdot (3\overrightarrow{OG})=h[-(s_x+2-2c)+(c-2)(s_y-2)+(s_x-2)-s_y(c-2)]=h\cdot 0=0$ với mọi vị trí $S$. Vậy $\overrightarrow{OG}$ luôn song song với mặt phẳng $(SBC)$, và $O\notin (SBC)$ (vì $(SBC)\cap (ABCD)=BC$ và $O\notin BC$). Do đó $OG$ và $(SBC)$ không có điểm chung nào, không phải đúng một điểm chung → phát biểu Sai. (Lưu ý: kiểm tra cụ thể với $S(0;0;1)$: $O(1;\frac{2}{3};0)$, $G(\frac{2}{3};0;\frac{1}{3})$, $\overrightarrow{OG}=(-\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{1}{3})$, $\overrightarrow{BC}=(-0,5;1;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-2;0;1)$, $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(1;0,5;2)$, tích vô hướng $=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=0$, xác nhận $OG\parallel (SBC)$.)
d) (AI giải đề cho tôi)
Hỗn hợp $[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS},\overrightarrow{CN}]=0$ với mọi vị trí đỉnh $S$, nên $NC\parallel (SAD)$; vì $C\notin (SAD)$ nên song song đúng nghĩa.