Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

Hình thoi $ABCD$ có cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $BA=BC=a$ và $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, do đó $AC=2a\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R_{\text{đaˊy}}=\frac{AC}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{a\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=a$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R_{\text{beˆn}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABC)$ theo giao tuyến $AB=a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ tính theo công thức hai mặt phẳng vuông góc:
$R^2=R_{\text{beˆn}}^2+R_{\text{đaˊy}}^2-\frac{A{B}^2}{4}={\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{3}+a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{13a^2}{12}=\frac{39a^2}{36}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{39}}{6}$.

Chọn đáp án C.