Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng $120^{\circ }$. Một mặt phẳng qua $S$ cắt hình nón $(N)$ theo thiết diện là tam giác vuông $SAB$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng 3. Diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón $(N)$ bằng

Gọi $l$ là độ dài đường sinh $SA=SB=l$. Góc ở đỉnh của hình nón bằng $120^{\circ }$, suy ra góc giữa đường sinh và trục là $\widehat{ASO}=60^{\circ }$.
Bán kính đáy $r=l\sin 60^{\circ }=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Thiết diện $SAB$ là tam giác vuông tại $S$ có $SA=SB=l$, do đó $AB=l\sqrt{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $AB$. Ta có $OM\perp AB$ và $SO\perp OM$, suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $SO$ chính là đoạn vuông góc chung $OM=3$.
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OA=OB=r$, đường cao $OM$: $OM=\sqrt{r^2-A{M}^2}=\sqrt{\frac{3l^2}{4}-\frac{l^2}{2}}=\sqrt{\frac{l^2}{4}}=\frac{l}{2}$.
Theo giả thiết $OM=3\Rightarrow \frac{l}{2}=3\Rightarrow l=6$. Khi đó bán kính đáy $r=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 3\sqrt{3}\cdot 6=18\sqrt{3}\pi$.

Chọn đáp án C.