Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

Vì $\widehat{BAD}=120^{\circ }$ nên suy ra $\widehat{CAD}=60^{\circ }$. Lại có $DA=DC$ nên tam giác $\Delta ACD$ đều. Do đó $AM=2a\sqrt{3}$.
a) Đúng: Kẻ $HE\perp CD$ $(E\in CD)$, $HE//AM$, $\frac{HE}{AM}=\frac{HC}{AC}=\frac{3}{4}$ $\Rightarrow HE=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$. $[S,CD,A]=\widehat{SEH}=\alpha$, $\tan \alpha =\frac{SH}{HE}=\frac{2}{3}$.
b) Sai: Vì $BH/\perp (SAC)$ nên $SH$ không là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$ $\Rightarrow (SB,(SAC))$ không bằng góc $\widehat{BSH}$.
c) Đúng: $S_{ABCD}=8a^2\sqrt{3}$, $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$.
d) Đúng (xem hình [Hình cần kiểm tra lại: p23_f1]): Gọi $AN\cap CD=F$, suy ra $PN\parallel SF$. $\mathrm{d}(PN,SM)=\mathrm{d}(PN,(SFD))=\mathrm{d}(P,(SFD))=\frac{1}{2}\mathrm{d}(A,(SFD))=\frac{2}{3}\cdot \frac{SH\cdot HE}{\sqrt{S{H}^2+H{E}^2}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.
a) Đúng: Kẻ $HE\perp CD$ $(E\in CD)$. Ta có $\{\begin{array}{l}HE\perp CD\\ AM\perp CD\end{array}\Rightarrow HE//AM$. Áp dụng định lý Ta-lét: $\frac{HE}{AM}=\frac{HC}{AC}=\frac{3}{4}$. $\Rightarrow HE=\frac{3}{4}AM=\frac{3}{4}\cdot 2a\sqrt{3}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$. Mặt khác: $CD\perp SH$, $CD\perp HE$ nên suy ra $CD\perp SE$. Ta có $\{\begin{array}{l}(SCD)\cap (ACD)=CD\\ HE\subset (ACD),HE\perp CD\\ SE\subset (SCD),SE\perp CD\end{array}\Rightarrow [S,CD,A]=\widehat{SEH}=\alpha$. Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp HE$, do đó $\tan \alpha =\frac{SH}{HE}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}$.
b) Sai: Vì $BH/\perp (SAC)$ nên $SH$ không là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$ $\Rightarrow (SB,(SAC))$ không bằng góc $\widehat{BSH}$.
c) Đúng: Ta có $S_{ABCD}=2S_{ACD}=2\cdot \frac{16a^2\sqrt{3}}{4}=8a^2\sqrt{3}$. $\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$.
d) Đúng (xem hình [Hình cần kiểm tra lại: p23_f1]): Gọi $AN\cap CD=F$. Suy ra $PN\parallel SF$. Do đó $$\mathrm{d}(PN,SM)=\mathrm{d}(PN,(SFD))=\mathrm{d}(P,(SFD))=\frac{1}{2}\mathrm{d}(A,(SFD))=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \mathrm{d}(H,(SFD))$$ $$=\frac{2}{3}\cdot \frac{SH\cdot HE}{\sqrt{S{H}^2+H{E}^2}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2+\frac{27a^2}{4}}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}.$$