Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $SO\perp (ABCD)$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $SA=a$. Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA=a và SO=a√6/3 nên OA²=a²−2a²/3=a²/3, tức OA=a/√3; từ AB²=OA²+OB² suy ra OB²=2a²/3. a) Hình thoi có BD⊥AC tại O, lại BD⊥SO nên BD⊥(SAO): Đúng. b) SA⊥OE (E là chân đường vuông góc) và SA⊥BD (vì BD⊥(SAO)) nên SA⊥(BDE), do đó SA⊥BE: Đúng. c) Trong tam giác vuông SOA: OE=SO·OA/SA=(a√6/3)(a/√3)/a=a√2/3, khác a√2/√3=a√6/3: Sai. d) Góc nhị diện [B,SA,D] là góc BED với BE=DE, BE²=OB²+OE²=2a²/3+2a²/9=8a²/9, BD²=4·2a²/3=8a²/3. cos∠BED=(2·8a²/9−8a²/3)/(2·8a²/9)=−1/2 nên ∠BED=120°, góc nhị diện bằng 60°, không phải 30°: Sai. Khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥AC (hình thoi) và BD⊥SO (SO⊥(ABCD)) nên BD⊥(SAO).
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥OE và SA⊥BD (do BD⊥(SAO)) nên SA⊥(BDE), suy ra SA⊥BE.
c) (AI giải đề cho tôi)
OE=SO·OA/SA=(a√6/3)·(a/√3)/a=a√2/3≠a√2/√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos∠BED=(BE²+DE²−BD²)/(2BE·DE) với BE²=DE²=8a²/9, BD²=8a²/3, cho cos=−1/2, góc nhị diện bằng 60° chứ không phải 30°.