Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết $AB=SB=a$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. $M$ là trung điểm $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OB=x,OA=y$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $S{B}^2=S{O}^2+O{B}^2\Rightarrow x^2=a^2-\frac{6a^2}{9}=\frac{a^2}{3}\Rightarrow OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, suy ra $BD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ (C đúng). Hình thoi: $O{A}^2=A{B}^2-O{B}^2=\frac{2a^2}{3}\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{6}}{3}=SO$, nên $SA=\sqrt{S{O}^2+O{A}^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. a) $AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$: đúng. b) Hệ trục $O$: $B(\frac{a\sqrt{3}}{3},0,0),D(-\frac{a\sqrt{3}}{3},0,0),A(0,\frac{a\sqrt{6}}{3},0),S(0,0,\frac{a\sqrt{6}}{3}),M(0,\frac{a\sqrt{6}}{6},\frac{a\sqrt{6}}{6})$. Mặt $(MBD)$ chứa trục $BD$, vectơ pháp tuyến tỉ lệ $(0,-1,1)$; mặt $(ABD)$ là $z=0$. Góc giữa hai mặt: $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi =45^{\circ }\ne 60^{\circ }$: sai. d) Tính pháp tuyến hai mặt $(SAB)$: $(-b^2,-bc,-bc)$, $(SAD)$: $(-b^2,bc,bc)$ với $b=\frac{a\sqrt{6}}{3},c=\frac{a\sqrt{3}}{3}$; tích vô hướng $=b^4-2b^2{c}^2=\frac{4a^4}{9}-\frac{4a^4}{9}=0$ nên hai mặt vuông góc: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[M,BD,A]$ bằng $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$OB=\sqrt{S{B}^2-S{O}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng hai pháp tuyến của $(SAB)$ và $(SAD)$ bằng $0$, nên $(SAB)\perp (SAD)$.