Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $△SAB$ và $△SAD$ vuông tại $A$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập: vì $riangleSAB$ và $riangleSAD$ vuông tại $A$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$, suy ra $SA\perp (ABCD)$. Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;h)$, $O(a/2;a/2;0)$, $M(0;0;h/2)$, $N(0;a/2;0)$.

a) Trong $riangleACD$: $O$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $ON\parallel CD$. Mà $CD\parallel AB\subset (SAB)$ và $ON\not\subset (SAB)$, do đó $ON\parallel (SAB)$. Đúng.

b) $MN\parallel SD$ (định lý đường trung bình trong $riangleSAD$) và $OM\parallel SC$ (đường trung bình trong $riangleSAC$). Hai đường thẳng cắt nhau $MN,OM$ trong $(OMN)$ lần lượt song song với $SD,SC$ trong $(SCD)$, nên $(OMN)\parallel (SCD)$. Đúng.

c) Mặt phẳng $(OMN)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;h;a)$ (từ $\overrightarrow{OM}=(a/2;a/2;-h/2)$, $\overrightarrow{ON}=(-a/2;0;0)$), phương trình: $hy+az=\frac{ah}{2}$. Đường thẳng $SB$: $(x;y;z)=(ta;0;h(1-t))$. Thay vào: $ah(1-t)=\frac{ah}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2}$. Vậy $H$ là trung điểm $SB$, tức $HS=HB$, không phải $HS=2HB$. Sai.

d) Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ (trung điểm $SA$) song song $(SBD)$ cắt $SB$, $SD$ tại trung điểm $E$, $F$ của chúng. Tam giác thiết diện là $riangleMEF$ với $ME=\frac{SB}{2}$, $MF=\frac{SD}{2}$. Vì $riangleSAB$ và $riangleSAD$ vuông tại $A$ chung cạnh $SA$ và $AB=AD$ (hình thoi) nên $SB=SD$, suy ra $ME=MF$: tam giác cân. Đúng.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong $△ACD$, $O$ trung điểm $AC$, $N$ trung điểm $AD$ nên $ON\parallel CD\parallel AB\subset (SAB)$, mà $ON\not\subset (SAB)$, suy ra $ON\parallel (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel SD$ và $OM\parallel SC$ (định lý đường trung bình), hai đường thẳng cắt nhau nên $(OMN)\parallel (SCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt $(OMN)$: $hy+az=\frac{ah}{2}$. Điểm trên $SB$: $(ta;0;h(1-t))$ cho $t=\frac{1}{2}$, tức $H$ là trung điểm $SB$ nên $HS=HB$, không phải $HS=2HB$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha )$ qua trung điểm $M$ của $SA$ song song $(SBD)$ cắt $SB$, $SD$ tại trung điểm $E,F$; thiết diện $△MEF$ có $ME=SB/2$, $MF=SD/2$. Vì $SB=SD$ (hai tam giác vuông tại $A$ chung $SA$, $AB=AD$) nên $ME=MF$, tam giác cân.