Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$ là trọng tâm $△A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $G$ và song song với các đường thẳng $B{D}^{\prime }$, $A^{\prime }D$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $C{D}^{\prime }$ và mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $\frac{K{D}^{\prime }}{KC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C^{\prime }(1,1,1)$, $D^{\prime }(0,1,1)$. Trọng tâm $△A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $G=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-1,1,1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$, nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }D}=(-2,-1,-1)$. Phương trình $(P)$: $2x+y+z=\frac{7}{3}$. Đường thẳng $C{D}^{\prime }$: $(x,y,z)=(1-t,1,t)$. Thay vào $(P)$: $2(1-t)+1+t=\frac{7}{3}\Rightarrow 3-t=\frac{7}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $K$ chia $C{D}^{\prime }$ theo tỉ số $\frac{K{D}^{\prime }}{KC}=\frac{1-t}{t}=\frac{1/3}{2/3}=0,5$, khớp đáp án nguồn.