Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, tâm $O$, $SA\perp (ABCD),SA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $SD$, $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.

a) $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$. Đúng.

b) $BC\perp AB$ (đáy hình vuông) và $BC\perp SA$ (câu a) với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$, nên $BC\perp (SAB)$. Đúng.

c) $N$ là trung điểm $SD$, $P$ là trung điểm $CD$ nên $NP$ là đường trung bình của tam giác $SCD$, suy ra $NP\parallel SC$. Mà $SC\subset (SBC)$, $NP\not\subset (SBC)$, nên $NP\parallel (SBC)$. Trong mặt phẳng $(MNP)$: $M$ trung điểm $SA$, $N$ trung điểm $SD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$, do đó $(MNP)\parallel (SBC)$. Đúng.

d) $NP\parallel SC$ nên $(NP,AC)=(SC,AC)$. Tính $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$:
$$\cos (SC,AC)=\frac{a^2+a^2}{a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\approx 0,6325,$$
suy ra góc $\approx 50,8^{\circ }\ne 45^{\circ }$. Sai.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đáy, do đó $SA\perp BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ (đáy là hình vuông) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AB\cap SA=A$ cùng nằm trong $(SAB)$, nên $BC\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$NP$ là đường trung bình tam giác $SCD$ nên $NP\parallel SC\subset (SBC)$, suy ra $NP\parallel (SBC)$. $M$ trung điểm $SA$, $N$ trung điểm $SD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC\subset (SBC)$, suy ra $MN\parallel (SBC)$. Hai đường thẳng cắt nhau $NP,MN$ trong $(MNP)$ đều song song $(SBC)$, vậy $(MNP)\parallel (SBC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$NP\parallel SC$ nên $(NP,AC)=(SC,AC)$. Với tọa độ $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, ta có $\cos (SC,AC)=\frac{2a^2}{a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\approx 0,6325$, suy ra góc $\approx 50,8^{\circ }\ne 45^{\circ }$.