Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SO$ vuông góc với đáy. Biết $AC=2\sqrt{3}a,BD=2a,SO=3a$.
a) Chứng minh $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$.
b) Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
c) Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $MO$ và $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=OC=\sqrt{3}a$, $OB=OD=a$, $SO=3a$.

a) Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Ta có $AC\perp BD$, $AC\perp SO$, $BD,SO\subset (SBD)$, $BD\cap SO=O$ nên $AC\perp (SBD)$.

b) Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và $OC$ (hình chiếu của $SC$ lên đáy), tức góc $SCO$. Ta có $\tan \widehat{SCO}=\frac{SO}{OC}=\frac{3a}{\sqrt{3}a}=\sqrt{3}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$.

c) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ gốc, $Ox$ là tia $OA$, $Oy$ là tia $OB$, $Oz$ là tia $OS$. Khi đó $A(\sqrt{3}a;0;0)$, $D(0;-a;0)$, $S(0;0;3a)$, $M$ trung điểm $SA$ nên $M\left(\frac{\sqrt{3}a}{2};0;\frac{3a}{2}\right)$.
$\overrightarrow{MO}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2};0;-\frac{3a}{2}\right)$, $\overrightarrow{AD}=(-\sqrt{3}a;-a;0)$.
$\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{AD}=\frac{3a^2}{2}+0+0=\frac{3a^2}{2}$; $|MO|=a\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}=a\sqrt{3}$; $|AD|=2a$.
$\cos (\overrightarrow{MO},\overrightarrow{AD})=\frac{3a^2/2}{2a^2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $\cos$ góc giữa $MO$ và $AD$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{4}$.