Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết $SB=2AB$ và $\widehat{SBA}=120^{\circ }$. Gọi $E$ là chân đường phân giác trong góc $\widehat{SBA}$, biết $BE=a$. Góc giữa cạnh bên $SA$ với mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Trong tam giác $SBA$, kẻ phân giác trong $BE$ của góc $\widehat{SBA}=120^{\circ }$, ta có $\widehat{ABE}=\widehat{EBS}=60^{\circ }$.
Ta có $S_{△SAB}=S_{△ABE}+S_{△SBE}\iff \frac{1}{2}AB\cdot SB\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}AB\cdot BE\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}SB\cdot BE\sin 60^{\circ }$.
Vì $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đặt $AB=x\Rightarrow SB=2x$, ta có $2x^2=ax+2ax=3ax\Rightarrow x=\frac{3a}{2}$. Do đó $AB=\frac{3a}{2}$ và $SB=3a$.
Áp dụng định lý cosin trong $△SAB$: $S{A}^2=A{B}^2+S{B}^2-2AB\cdot SB\cos 120^{\circ }={\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+(3a{)}^2-2\cdot \frac{3a}{2}\cdot 3a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9a^2}{4}+9a^2+\frac{9a^2}{2}=\frac{63a^2}{4}\Rightarrow SA=\frac{3a\sqrt{7}}{2}$.
Chiều cao của khối chóp là $h=SA\sin 45^{\circ }=\frac{3a\sqrt{7}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{14}}{4}$.
Diện tích đáy hình vuông $S_{ABCD}=A{B}^2={\left(\frac{3a}{2}\right)}^2=\frac{9a^2}{4}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{9a^2}{4}\cdot \frac{3a\sqrt{14}}{4}=\frac{9\sqrt{14}{a}^3}{16}$.

Chọn đáp án B.