Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$.

a) Chứng minh rằng: $BD\perp (SAC)$; $(SAB)\perp (SBC)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$.

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các đường thẳng $SC$, $SD$ lần lượt tại $I$, $J$. Tính tỷ số $\frac{SJ}{SD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;2a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{6})$.

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$, $SA$ trong $(SAC)$).

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$; kết hợp $AB\perp BC$ (hình vuông) suy ra $BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ (một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau).

b) Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SO$ và $BD\perp AO$, do đó góc nhị diện $[S,BD,A]$ là góc $\widehat{SOA}$. Ta có $AO=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$, $SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{6a^2+2a^2}=2a\sqrt{2}$. Khi đó $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SOA}=60^{\circ }$. Vậy số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$ bằng $60^{\circ }$.

c) $\overrightarrow{SC}=(2a;2a;-a\sqrt{6})$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A(0;0;0)$ vuông góc với $SC$ có phương trình: $2x+2y-\sqrt{6}z=0$.

Đường thẳng $SD$: $\overrightarrow{SD}=(0;2a;-a\sqrt{6})$, điểm $J=S+t\overrightarrow{SD}=(0;2at;a\sqrt{6}(1-t))$. Thay vào phương trình $(P)$: $2(2at)-\sqrt{6}\cdot a\sqrt{6}(1-t)=0\Rightarrow 4at-6a(1-t)=0\Rightarrow 4t-6+6t=0\Rightarrow 10t=6\Rightarrow t=\frac{3}{5}$.

Vậy $\frac{SJ}{SD}=\frac{3}{5}$. (Kiểm tra lại: phương trình $4t-6+6t=0$ cho $t=3/5$, kết luận nhất quán.)