Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA\perp (ABC)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên $BC$ và $DC$ sao cho $MB=\frac{a}{2}$, $DN=\frac{3a}{4}$. Chứng minh rằng $(SAM)\perp (SMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ trong mặt đáy: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Vì $MB=\frac{a}{2}$ nên $M\left(a;\frac{a}{2}\right)$; vì $DN=\frac{3a}{4}$ nên $N\left(\frac{3a}{4};a\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(a;\frac{a}{2}\right)$ và $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{a}{4};\frac{a}{2}\right)$, nên:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{MN}=a\cdot \left(-\frac{a}{4}\right)+\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=0\Rightarrow AM\perp MN.$$

Mặt khác, $SA\perp (ABC)$ mà $MN\subset (ABC)$ nên $SA\perp MN$.

Vì $MN$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AM$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAM)$, suy ra $MN\perp (SAM)$.

Lại có $MN\subset (SMN)$, nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, ta được $(SAM)\perp (SMN)$. $■$